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Agradecimientos IV
Prólogo V
Presentación VIII
3. La Hipérbola 1
3.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
3.2. Características y puntos notables de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.3. Ecuaciones analíticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4. Comparación entre los semiejes transverso (a) y conjugado (b) . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5. Expresión de los radios focales. Otra forma de definir la HDDFe . . . . . . . . . . . 15
3.6. Regiones que determina la HDDFe en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.7. El latus rectum de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.8. Ecuación de la hipérbola con centro en C(h, k)... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.8.1. Ecuación de la hipérbola con centro en C(h, k) y eje focal paralelo al eje x . . . 36
3.8.2. Ecuación de la hipérbola de centro en C(h, k) y eje focal paralelo al eje y . . . . 38
3.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.10. Construcciones de la hipérbola trazadas por puntos y métodos continuos . . . . . . . 50
3.10.1. Primera construcción de la hipérbola trazada por puntos . . . . . . . . . . . . . 50
3.10.2. Primera construcción de la hipérbola trazada por un método continuo . . . . . 52
3.10.3. Segunda construcción de la hipérbola trazada por un método continuo . . . . . 53
3.10.4. Segunda construcción de la hipérbola trazada por puntos . . . . . . . . . . . . 55
3.10.5. Tercera construcción de la hipérbola trazada por puntos . . . . . . . . . . . . . 57
3.11. Asíntotas de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.13. Hipérbolas conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.14. Tangente a la hipérbola por un punto de la curva. Propiedad óptica (o focal) de la curva 65
3.15. Ángulo de inclinación de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.16. Tangente a la hipérbola conjugada por un punto de la curva . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.17. Construcción de la tangente por un punto de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.18. Propiedad de las tangentes desde los extremos de una cuerda focal . . . . . . . . . . . 76
3.19. Ecuación de la hipérbola referida a sus asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.20. La hipérbola equilátera (o rectangular) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.21. Propiedades de la hipérbola equilátera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.22. Valores de la función f (x, y) = a2y2 b2x2 + a2b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.23. Intersección de una recta y una hipérbola. Tangentes a una hipérbola de pendiente dada100
3.24. Problemas sobre tangentes a la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.25. Rectas tangente, normal, subnormal y subtangente en la hipérbola . . . . . . . . . . . 105
3.26. Ecuaciones paramétricas de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.27. La cuadratura de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.28. El radio de curvatura en un punto de la hipérbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.29. La evoluta de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.30. Construcción de las tangentes a una hipérbola paralelas a una recta dada . . . . . . . . 126
3.31. Tangentes a una hipérbola desde un punto P0(x0, y0) 2 extH . . . . . . . . . . . . . . 132
3.32. Otra forma de encontrar las ecuaciones analíticas de las tangentes... . . . . . . . . . . . 136
3.33. Una construcción de la hipérbola y de las tangentes, tanto desde un punto... . . . . . . 139
3.34. 1a y 2a teoremas de Poncelet para la hipérbola... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.35. Diámetros de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.36. Semiejes conjugados de la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.37. Los teoremas de Apollonius para la hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.38. Construir los ejes de una hipérbola conociendo la posición y longitud... . . . . . . . . . 162
3.39. Otros lugares geométricos asociados a dos puntos del plano . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.39.1. Primer lugar geométrico: círculo de Apollonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.39.2. Segundo lugar geométrico: circunferencia de centro en el punto medio de AB . 181
3.39.3. Tercer lugar geométrico: recta perpendicular a AB . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
Apéndices 194
A. Introducción a las cónicas de Apollonius 195
A.1. Contenido de la obra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
Bibliografía 199
Índice alfabético 200
Jaime Chica Escobar
Ingeniero
Civil (Universidad Nacional de Colombia). Matemático (Universidad de
Antioquia). Profesor
de
Mecánica en la Universidad Nacional entre los años 1960-1972. Docente de tiempo
completo en la Facultad de Ingeniería de la U de A, entre los años 1972-1975.
Docente jubilado del Departamento de Matemáticas de la U de A. Asesor de tesis
de pregrado de estudiantes de Matemáticas de la U de A. Ha participado en
encuentros de matemáticas de carácter regional y nacional como ponente.
Entre
sus publicaciones se destacan: Álgebra de
Tensores y Análisis matricial, ed. UdeA, Introducción a la Geometría del Espacio, Monografía
sobre las Cónicas, Los
lugares geométricos representados por la ecuación de segundo grado en dos
variables.
Hernando Manuel Quintana Ávila
Matemático,
Magíster en Matemáticas Aplicadas, Especialista en Estadística, Administrador
de Empresas Agropecuarias. Docente de tiempo completo de la Facultad de
Ciencias Económicas y Administrativas ITM. Entre sus publicaciones se destacan
dos artículos en la revista Schizophrenia Research: Fewer but heavier Caffeine consumers in schizophrenia: a case-control
study y
smoking
initiation and schizophrenia: a replication study in a spanish sample. Coautor de
los libros: Cálculo diferencial: Límites y derivadas, Aplicaciones matemáticas en ingeniería. Capítulo II: Uso de la Programación Dinámica en operaciones de embalses. Ha escrito más de 15 artículos de divulgación
matemática en el periódico institucional del ITM. Participó como ponente en dos
encuentros internacionales de matemáticas.
