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Introducción a la historia y a la filosofía de la matemática
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Introducción a la historia y a la filosofía de la matemática

Volumen 2. Hacia la formalización en Hilbert y en Bourbaki

  • Editorial Editorial UNAL - Universidad Nacional de Colombia
    Universidad Nacional de Colombia
  • El hilo conductor en esta obra, es la noción de sistema formal. Se ha estudiado la matemática en estado naciente entre los pitagóricos y algunas ilustraciones de su desenvolvimiento hasta los tiempos de Aristóteles. Luego, cómo axiomatizó Euclides la geometría. Ahora se trata de ver el papel jugado por el quinto postulado de esta axiomatización hasta provocar la creación de las geometrías no euclidianas; la necesidad que ´estas pusieron de manifiesto de pensar de nuevo la axiomatización de Euclides, lo cual hizo Hilbert; el consiguiente surgimiento del problema de no contradicción de la matemática la solución inesperada que dan a esta cuestión los teoremas de Gödel, y, la superación, de hecho, de la posición de inseguridad en que aquellos teoremas ponen a los sistemas formales. Genéticamente, se puede considerar un desarrollo experimental, intuitivo, o axiomático de la matemática. Ya se vieron los dos primeros aspectos; ahora, se trata de ahondar en el aspecto axiomático. La axiomatización de la geometría hecha por Euclides es, históricamente, el primer sistema formal y, durante muchos siglos, el único. Lo que constituye un sistema formal, en el fondo no ha cambiado; es lo que quiere decir Bourbaki con la frase: “Lo que era un teorema para Euclides, todavía lo es para nosotros”. Lo que sí ha cambiado es la forma. Los primeros principios de Euclides no son los de Hilbert, ni en cuanto a componentes, ni en cuanto a exigencias, ni en cuanto a significados o presupuestos filosóficos, etc. Es lo que hace la diferencia entre Elementos, de Euclides y Fundamentos de la geometría, de Hilbert. El pasaje de una obra maestra a la otra es uno de los ejemplos más convincentes de evolución en matemática: una vez compuesta la obra de Euclides era ineluctable la de Hilbert. En la manera misma como Euclides eligió los primeros principios está el germen que va a provocar la evolución hasta Hilbert. Al completarse el desarrollo con la obra de Hilbert surge el problema, resuelto por Gödel. La exposición de la matemática más conocida actualmente (y esto no implica que sea aceptada por todos) es la de Nicolas Bourbaki: es la axiomatización de la matemática a la manera de Hilbert, pero añadiéndole un empleo sistemático de las estructuras.
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Estado: Activo
ISBN-13: 9789587619102
Tipo de contenido principal: Texto (legible a simple vista)
Tipo de contenido del producto: Imágenes fijas / gráficos
Protección técnica de publicación digital: DRM
Tipo de restricción de uso en publicaciones digitales: Préstamo
Permiso de uso en publicaciones digitales: Permitido sin límites
Tipo de restricción de uso en publicaciones digitales:
Permiso de uso en publicaciones digitales: No permitido
Idioma del texto: Español
Número de páginas de la versión impresa: 614 Páginas
Tamaño del archivo: 5606633 Bytes
Tipo de edición: Nueva edición
Número de edición: 1
Ciudad de publicación: Bogotá
País de publicación: Colombia
Fecha de publicación: 2008-01-01
Fecha de embargo: 2008-01-01
Fecha de publicación de la versión impresa: 2008-01-01
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Introducción 1. EL quinto postulado, motor en la evolución de la geometría 2. Descartes: algebraización de la geometría 3. Leibniz: algebraización de la lógica y del cálculo infinitesimal 4. Kant: ¿Cómo es posible la matemática pura? 5. Geometrías no euclidianas 6. Boole: análisis matemático de la lógica 7. Antecedentes de la formalización hilbertiana 8. Hilbert: Fundamentos de la geometría 9. Axiomatización a la manera de Hilbert 10. EL segundo problema de Hilbert. La no contradicción de la matemática. Metamatemática 11. Gödel: limitaciones internas de los sistemas formales 12. Bourbaki: matemática mediante estructuras 13. Metamatemática en Elementos de Matemática, de Bourbaki 14. Experiencia, intuición, axiomatización 15. Hacia una filosofía de la matemática

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Alberto Campos

Nombre invertido: Campos, Alberto
Género: Masculino

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