Inferencia estadística

Lista de figuras ix

Lista de tablas xiii

Lista de siglas xvii

Prefacio xix

Capítulo uno

Variables aleatorias y distribuciones univariadas 1

1.1 Conceptos básicos de espacio muestral 3

1.2 Concepto de probabilidad 8

1.3 Probabilidad condicional 17

1.4 Regla de multiplicación 18

1.5 Independencia 20

1.6 Regla de Bayes 25

1.7 Variable aleatoria 28

1.8 Distribuciones de probabilidad 35

1.8.1 Algunas distribuciones discretas 35

1.8.2 Algunas distribuciones continuas 45

1.9 Aproximaciones de distribuciones de probabilidad 66

1.10 Desigualdad de Chebyshev 69

1.11 Funciones generadoras 72

1.11.1 Función generadora de probabilidad 72

1.11.2 Función generadora de momentos 75

1.11.3 Función característica 84

1.12 Ejercicios 91

Capítulo dos

Vectores aleatorios y distribuciones multivariadas 99

2.1 Distribución de probabilidad conjunta 102

2.2 Función de distribución conjunta 105

2.3 Valores esperados y momentos 106

2.4 Valor esperado condicional 107

2.5 Varianza condicional 110

2.6 Correlación entre variables 111

2.7 Distribución de suma de variables aleatorias independientes 115

2.8 Transformaciones de variables aleatorias 118

2.9 Normal bivariada 120

2.9.1 Distribución normal bivariada estándar 120

2.9.2 Distribución normal bivariada 120

2.10 Familia exponencial lineal 125

2.10.1 Familia exponencial lineal (uniparamétrica) 125

2.10.2 Familia exponencial de un parámetro en forma natural 126

2.11 Probabilidad y estadística multivariada 127

2.11.1 Función de distribución acumulada conjunta 128

2.12 Valor esperado y matriz de covarianzas 129

2.13 Funciones generadoras multidimensionales 131

2.13.1 Función generadora de momentos multidimensional 131

2.13.2 Función característica multidimensional 134

2.14 Distribución de suma de variables aleatorias independientes 136

2.15 Transformaciones de dos o más variables aleatorias 138

2.16 Normal multivariada 145

2.17 Ejercicios 147

Capítulo tres

Propiedades de una muestra aleatoria 149

3.1 Conceptos básicos de muestra aleatoria 151

3.2 Estadísticos de orden 153

3.3 Órdenes de magnitud 163

3.3.1 Órdenes de magnitud de sucesiones de números reales y vectores 163

3.3.2 Órdenes de magnitud de funciones 169

3.3.3 Órdenes de magnitud en probabilidad de sucesiones estocásticas 171

3.4 Convergencia estocástica 176

3.4.1 Tipos de convergencia estocástica 176

3.4.2 Convergencia en distribución o convergencia en ley 182

3.4.3 Teoremas límites 191

3.5 Ejercicios 201

Capítulo cuatro

Métodos de estimación puntual 205

4.1 Principio de sustitución 207

4.1.1 Estimación por sustitución de frecuencias 207

4.1.2 Estimación por método de momentos 209

4.2 Estimación por máxima verosimilitud 213

4.3 Estimación bayesiana 227

4.3.1 Distribuciones a priori y a posteriori 227

4.3.2 Estimación puntual bayesiana 234

4.4 Estimación por el método de mínimos cuadrados 236

4.4.1 Mínimos cuadrados ordinarios 236

4.4.2 Mínimos cuadrados ponderados 246

4.5 Conceptos básicos para estimación minimax 250

4.6 Ejercicios 257

Capítulo cinco

Propiedades de los estimadores 261

5.1 Suficiencia 263

5.2 Estadística suficiente minimal 269

5.3 Completez 272

5.4 Error cuadrático medio e insesgamiento 274

5.5 Estimador insesgado de mínima varianza (UMVUE) 277

5.6 Cota inferior de Cramér-Rao 282

5.7 Consistencia 293

5.8 Eficiencia 297

5.9 Invarianza para estimadores de máxima verosimilitud 298

5.10 Familia exponencial 300

5.10.1 Estimación de máxima verosimilitud en la familia exponencial 302

5.10.2 Familia exponencial de un parámetro en forma natural 304

5.10.3 Familia exponencial de k parámetros 308

5.10.4 Estimación de máxima verosimilitud en la familia exponencial de k parámetros 309

5.11 Ejercicios 311

Capítulo seis

Intervalos de confianza 315

6.1 Conceptos básicos de intervalos de confianza 317

6.2 Intervalos de confianza basados en una única estadística 322

6.3 Intervalos de confianza basados en la FVR 333

6.4 Método pivotal 338

6.5 Algunos casos particulares 347

6.5.1 Intervalo de confianza para una proporción 347

6.5.2 Intervalo de confianza para diferencia de medias de dos poblaciones independientes 349

6.5.3 Intervalo de confianza para diferencia de medias de dos poblaciones no independientes 360

6.5.4 Intervalo de confianza para diferencia de proporciones de dos poblaciones independientes 362

6.6 Estimación bayesiana por intervalo 363

6.7 Tamaño de muestra simple bajo normalidad 371

6.7.1 Tamaño de muestra para estimar la media con varianza conocida 371

6.7.2 Tamaño de muestra para la estimación de una proporción 373

6.8 Ejercicios 374

Capítulo siete

Prueba de hipótesis 377

7.1 Elementos básicos de pruebas de hipótesis 379

7.2 Evaluación de tests 380

7.3 Test uniformemente más potente 383

7.3.1 Test de razón de verosimilitud 383

7.3.2 Lema de Neyman-Pearson 391

7.4 Algunos casos particulares 407

7.4.1 Prueba de hipótesis sobre una varianza cuando μ es una constante desconocida 411

7.4.2 Prueba de hipótesis sobre diferencia de medias de dos poblaciones independientes 414

7.4.3 Pruebas de hipótesis para la igualdad de varianzas 421

7.4.4 Prueba de hipótesis para diferencia de medias de dos poblaciones no independientes 422

7.4.5 Pruebas de hipótesis para diferencia entre dos proporciones poblacionales, muestras independientes 425

7.5 Bondad de ajuste 427

7.5.1 Test de Pearson para bondad de ajuste 427

7.5.2 Test de Kolmogorov para bondad de ajuste 435

7.6 Ejercicios 441

Capítulo ocho

Comportamiento asintótico de estadísticas de prueba 443

8.1 Función de estimación. Caso uniparamétrico 445

8.1.1 Propiedades de una función de estimación 446

8.2 Función de estimación. Caso multiparamétrico y vectorial 451

8.2.1 Propiedades de una función de estimación multivariada 453

8.3 Estadísticas de prueba 459

8.4 Ejercicios 467

Apéndice A

Series de Taylor 469

A.1 Expansiones de Taylor 471

A.1.1 Fórmula de Taylor con resto 474

A.2 Ejercicios 479

Apéndice B

Tópicos especiales de matemáticas 481

B.1 Tópicos de álgebra matricial 483

B.1.1 Transformación ortogonal 484

B.1.2 Forma cuadrática 487

B.1.3 Inversa generalizada 487

B.2 Tópicos de cálculo 490

B.2.1 Máximo o mínimo local 492

B.2.2 Desigualdad de Jensen 494

B.3 Distribuciones de algunas formas cuadráticas 496

B.4 Otros tópicos 500

B.4.1 Condiciones de regularidad 500

B.4.2 Ejemplo numérico de máxima verosimilitud 501

B.5 Ejercicios 504

Apéndice C

Tablas 505

Referencias 513

Índice analítico 521