Contenido
Capítulo 1.
Geometría diferencial de curvas
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3. Curvatura de una curva en el plano . . . . . . . . . . 10
1.4. Ángulo e índice de rotación de curvas planas . . . . . 13
1.5. Curvatura de una curva en el espacio . . . . . . . . . 20
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2. Superficies parametrizadas y superficies regulares . . 43
2.3. Funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4. La primera forma fundamental . . . . . . . . . . . . 59
2.5. Geometría de curvas sobre superficies . . . . . . . . . 67
2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Capítulo 3.
Geometría extrínseca
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2. La segunda forma fundamental . . . . . . . . . . . . 92
3.3. La curvatura de Gauss y la curvatura media . . . . . 99
3.4. Curvas asintóticas y líneas de curvatura . . . . . . . 106
3.5. Superficies mínimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Capítulo 4.
Geometría intrínseca
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2. Isometrías y la primera forma fundamental . . . . . . 122
4.3. El teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.4. Derivada covariante y transporte paralelo . . . . . . . 127
4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Capítulo 5.
El teorema de Gauss-Bonnet
5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2. El teorema de Gauss-Bonnet . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3. Índice de campos vectoriales y teorema de Poincaré-Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5.4. Teorema de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Referencias
Bibliografía sugerida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Índice alfabético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
