Fundamentos de matemáticas

Prólogo i
Prefacio para el docente v
Prefacio para el estudiante ix

I Lógica clásica 1

Lección uno
Proposiciones 3
1.1 ¿Qué es una proposición? 5
1.2 Reglas para la construcción de nuevas proposiciones 8
1.2.1 Negación 8
1.2.2 Conjunción 9
1.2.3 Disyunción 9
1.2.4 Condicional 11
1.2.5 Bicondicional 13
1.3 Ejercicios 14

Lección dos
Equivalencia semántica 17
2.1 Lenguaje lógico 19
2.2 Importancia de los paréntesis 20
2.3 Tautologías, contradicciones y contingencias 24
2.4 Equivalencia semántica 25
2.4.1 Análisis usando asignaciones de verdad 27
2.5 Ejercicios 29

Lección tres
Negación de proposiciones. Implicación semántica 33
3.1 Negación de proposiciones 35
3.2 Implicación semántica 36
3.3 Reducción al absurdo 39
3.4 Teorema de la deducción 39
3.5 Ejercicios 40

Lección cuatro
Predicados y cuantificadores 43
4.1 Predicados 45
4.2 Cuantificadores 47
4.3 Implicación semántica 50
4.4 Equivalencia semántica 51
4.5 Negación de cuantificadores 52
4.6 Ejercicios 54

Lección cinco
Cuantificación múltiple 57
5.1 Cuantificación múltiple 59
5.2 Ejemplos: axiomas sobre los números reales 63
5.3 Ejercicios 66

II Estrategias de demostración 69

Lección seis
Demostraciones directas 71
6.1 ¿Cómo se argumenta en matemáticas? 73
6.2 Aritmética en los números enteros 74
6.3 Cuantificadores en demostraciones 77
6.3.1 Universales 77
6.3.2 Existenciales 78
6.4 Demostraciones directas 79
6.5 Ejercicios 85

Lección siete
Demostraciones indirectas 89
7.1 Por contrarrecíproca 91
7.2 Por reducción al absurdo 92
7.3 Ejercicios 96

Lección ocho
Demostraciones indirectas II. Refutando afirmaciones 97
8.1 Bicondicionales 99
8.2 Demostración por casos 101
8.3 Demostración de disyunciones 102
8.4 Cuantificación múltiple en demostraciones 103
8.5 Refutando afirmaciones 105
8.5.1 Refutando universales 105
8.5.2 Refutando existenciales 106
8.6 Ejercicios 106

Lección nueve
Principio de inducción matemática 109
9.1 Forma I 111
9.2 Forma II 116
9.3 Forma III 119
9.4 Ejercicios 121

III Teoría intuitiva de conjuntos 123

Lección diez
Nociones básicas 125
10.1 ¿Qué es un conjunto? 127
10.1.1 Relación de pertenencia 130
10.2 Contenencia 131
10.3 Igualdad de conjuntos 134
10.4 Conjunto potencia 135
10.5 Ejercicios 136

Lección once
Operaciones entre conjuntos 137
11.1 Unión e intersección 139
11.2 Diferencia 142
11.3 Complemento 145
11.4 Ejercicios 147

Lección doce
Familias indexadas de conjuntos 151
12.1 Familias indexadas 154
12.2 Intersección 155
12.3 Unión 156
12.4 Propiedades 157
12.5 Ejercicios 160

Lección trece
Parejas ordenadas y producto cartesiano 163
13.1 Parejas ordenadas 165
13.2 Producto cartesiano 167
13.3 Representación 168
13.4 Propiedades 170
13.5 Ejercicios 171

IV Relaciones 173

Lección catorce
Nociones básicas 175
14.1 Concepto de relación 179
14.2 Representación 180
14.3 Dominio y rango 183
14.4 Relación inversa 185
14.5 Clases de una relación 186
14.6 Composición 187
14.7 Ejercicios 189
14.8 Congruencias módulo n en Z 192
14.9 Clases residuales 196
14.10 Ejercicios 198

Lección quince
Tipos especiales de relaciones 201
15.1 Reflexivas 203
15.2 Simétricas 204
15.3 Antisimétricas 206
15.4 Transitivas 208
15.5 Ejercicios 209

Lección dieciséis
Relaciones de equivalencia 211
16.1 Definición 213
16.2 Clases de equivalencia 214
16.3 Particiones 216
16.4 Ejercicios 219

Lección diecisiete
Relaciones de orden 223
17.1 Conjuntos ordenados 225
17.2 Diagramas de Hasse 227
17.3 Ejercicios 230

Lección dieciocho
Elementos extremales. Buenos órdenes 233
18.1 Máximos y mínimos 235
18.2 Maximales y minimales 237
18.2.1 Cotas superiores e inferiores 240
18.3 Supremos e ínfimos 241
18.4 Buenos órdenes 242
18.5 Ejercicios 244

V Funciones 249

Lección diecinueve
Funciones 251
19.1 Concepto de función 253
19.2 Ejemplos 256
19.3 Representación 261
19.4 Igualdad de funciones 264
19.5 Ejercicios 267

Lección veinte
Definiciones recursivas 269
20.1 Sucesiones 272
20.2 Recursión 273
20.2.1 Multiplicación de naturales 275
20.2.2 Potenciación de naturales 278
20.2.3 Factorial 280
20.2.4 Sumatoria de reales 281
20.2.5 Sucesión de Fibonacci 282
20.3 Ejercicios 283

Lección veintiuno
Imágenes directa y recíproca 285
21.1 Imagen directa 288
21.2 Imagen recíproca 291
21.3 Propiedades 295
21.4 Ejercicios 297

Lección veintidós
Composición de funciones. Inversa 299
22.1 Composición 302
22.2 Propiedades 305
22.3 Neutros 306
22.4 Inversa 308
22.5 Ejercicios 312

Lección veintitrés
Funciones biyectivas 315
23.1 Inyectivas 318
23.2 Sobreyectivas 319
23.3 Biyectivas 320
23.4 Existencia de inversas 321
23.5 Ejercicios 326

VI Cardinales 327

Lección veinticuatro
Equipotencia y dominación 329
24.1 Equipotencia 331
24.2 Dominación 335
24.3 Ejercicios 338

Lección veinticinco
Conjuntos finitos 341
25.1 Intervalos naturales. Definición de conjunto finito 343
25.2 Propiedades 344
25.3 Ejercicios 349

Lección veintiséis
Conjuntos infinitos 351
26.1 Infinitos y contables 353
26.2 No contables 358
26.3 Ejercicios 362

VII Apéndice 365

Apéndice A
Números reales 367
A.1 Axiomas de cuerpo 369
A.2 Axiomas de orden 372
A.3 Sistemas numéricos 374
A.4 Axioma del extremo superior 377
A.4.1 Representación de R 381
A.5 Ejercicios 382

Apéndice B
Sistemas deductivos clásicos 383
B.1 Sistema deductivo proposicional clásico 385
B.1.1 Reglas de inferencia 387
B.1.2 Regla de reemplazo 390
B.1.3 Validez de argumentos 391
B.1.4 Reducción al absurdo 392
B.1.5 Teorema de la deducción 394
B.2 Reglas del cálculo de predicados 395
B.3 Ejercicios 400

Referencias 403
Índice 40