Cuadernos de álgebra

Prefacio ix
Presentación i

I. Grupos 1

Capítulo uno
Grupos y subgrupos 1

1. Operaciones binarias y estructuras algebraicas elementales 3
2. Grupos 7
3. Subgrupos 11
4. Generación de subgrupos 14
5. Teorema de Lagrange 18
6. Ejercicios 20

Capítulo dos
Grupos cíclicos 27

1. Definición 29
2. Orden y periodo de un elemento 31
3. Ejemplos 33
4. Propiedades 34
5. Generadores 36
6. Ejercicios 37

Capítulo tres
Subgrupos normales y homomorfismos 41

1. Subgrupos normales 43
2. Grupo cociente 44
3. Homomorfismos de grupos 47
4. Ejercicios 49

Capítulo cuatro
Teoremas de estructura 51

1. Teorema fundamental de homomorfismo 53
2. Teorema de factorización 55
3. Teorema de correspondencia 57
4. Teoremas de isomorfismo 59
5. Ejercicios 65

Capítulo cinco
Automorfismos 67

1. Automorfismos interiores 69
2. Teorema de Cayley 70
3. Ejemplos 71
4. Ejercicios 78

Capítulo seis
Grupos de permutaciones 79

1. Ciclos 81
2. El grupo alternante An 85
3. Sistemas de generadores 88
4. El grupo diédrico Dn, n ≥ 3 91
5. Subgrupos normales del grupo Dn, n ≥ 3 94
6. Ejercicios 95

Capítulo siete
Productos y sumas directas 97

1. Definición 99
2. Producto cartesiano: caso infinito 101
3. Suma directa externa 102
4. Suma directa interna 104
5. Ejercicios 111

Capítulo ocho
G-conjuntos 113

1. Acción de grupos sobre conjuntos 115
2. Órbitas y subgrupos estacionarios 117
3. Grupos transitivos 121
4. Ejercicios 124

Capítulo nueve
Teoremas de Sylow 125

1. p-grupos 127
2. Preliminares 130
3. Teoremas 133
4. Aplicaciones 137
5. Ejercicios 142

Capítulo diez
Grupos abelianos finitos 143

1. p-grupos abelianos finitos 145
2. Sistemas de invariantes 149
3. Grupos abelianos finitos 150
4. Grupos de orden ≤ 15 153
5. Ejercicios 153

Capítulo once
Grupos solubles 155

1. Centro de un grupo 157
2. Conmutante de un grupo 158
3. Cadenas normales 164
4. Grupos solubles 170
5. Ejercicios 171

II. Anillos 1

Capítulo uno
Anillos y subanillos 1

1. Definición y ejemplos 3
2. Subanillos 10
3. Ejercicios 13

Capítulo dos
Ideales 15

1. Definición y ejemplos 17
2. Operaciones con ideales 20
3. Ejercicios 27

Capítulo tres
Anillo cociente y homomorfismos 31

1. Definiciones y ejemplos 33
2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo 39
3. Ejercicios 44

Capítulo cuatro
Producto de anillos 47

1. Definición y propiedades elementales 49
2. Teorema chino de residuos 51
3. Ejercicios 53

Capítulo cinco
Ideales primos y maximales 55

1. Definiciones y ejemplos 57
2. Comportamiento a través de homomorfismos 60
3. Ejercicios 64

Capítulo seis
Dominios de integridad 67

1. Definiciones y ejemplos 69
2. Dominios gaussianos 71
3. Ejercicios 77

Capítulo siete
Anillos de fracciones: caso conmutativo 79

1. Construcción y propiedades 81
2. Ejemplos 85
3. Ejercicios 89

Capítulo ocho
Polinomios y series 91

1. El anillo de series 93
2. El anillo de polinomios 95
3. Propiedades elementales 97
4. Teorema de Gauss 102
5. Ejercicios 108

III. Módulos 1

Capítulo uno
Módulos, submódulos y cocientes 1

1. Definición y ejemplos 3
2. Submódulos 8
3. Módulo cociente 10
4. Ejercicios 12

Capítulo dos
Módulos finitamente generados 15

1. Operaciones con submódulos 17
2. Submódulos maximales 19
3. Ejemplos 21
4. Ejercicios 23

Capítulo tres
Homomorfismos 25

1. Definición y propiedades básicas 27
2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo 29
3. Ejemplos 31
4. Ejercicios 32

Capítulo cuatro
Hom 35

1. El grupo HomA¹M, Nº 37
2. Ejemplos 39
3. Bimódulos 43
4. Ejercicios

IV. Álgebra Lineal 1

Capítulo uno
Espacios vectoriales 1

1. Definición y ejemplos 3
2. Subespacios 7
3. Ejercicios 10

Capítulo dos
Bases y dimensión 13

1. Definición de base 15
2. Teorema de la dimensión 18
3. Ejercicios 21

Capítulo tres
Transformaciones lineales 23

1. Definición y ejemplos 25
2. Matrices asociadas a transformaciones 30
3. Núcleo e imagen de una transformación 34
4. Ejercicios 38

Capítulo cuatro
Eigenvalores y eigenvectores 41

1. Definición 43
2. Teorema espectral 47
3. Ejercicios 50

Capítulo cinco
Producto interno 53

1. Definición 55
2. Espacios normados 60
3. Ejercicios 64

V. Cuerpos 1

Capítulo uno
Cuerpos y subcuerpos 1

1. Definición de cuerpo 3
2. Propiedades de los cuerpos 6
3. Subcuerpos 9
4. Ejercicios 12

Capítulo dos
Extensiones de cuerpos 15

1. Definición de extensión de cuerpos 17
2. Grado de una extensión 20
3. Ejercicios 23

Capítulo tres
Cuerpos finitos 27

1. Definición y propiedades 29
2. Característica de un cuerpo 33
3. Ejercicios 36

Capítulo cuatro
Teoría de Galois 39

1. Definición y teorema fundamental de Galois 41
2. Aplicaciones 45
3. Ejercicios 48