Topología: un curso introductorio.

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1. Notación y ejemplos de topologías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2. Espacios métricos y topológicos: ejemplos y propiedades . . . . . . . . 8

    1.3. Construcción de nuevos espacios topológicos . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.4. Interior, adherencia, puntos límite y frontera . . . . . . . . . . . . . . 31

    1.5. Continuidad y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    1.6. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    1.7. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    1.8. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2. Espacios topológicos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    2.1. Cubrimientos abiertos y espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . 56

    2.2. Compacidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    2.3. Compactos de Rⁿ (teorema de Heine-Borel) . . . . . . . . . . . . . . 72

    2.4. Compacidad y la propiedad de intersección finita . . . . . . . . . . . 78

    2.5. Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    2.6. Compacidad secuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    2.7. Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    2.8. Compacidad en C([0; 1]) (teorema de Arzelà-Ascoli) . . . . . . . . . . 96

    2.9. Espacios de Lindelöf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3. Espacios topológicos conexos  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    3.1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    3.2. Componentes conexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    3.3. Conexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    3.4. Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4. Axiomas de separación  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

    4.1. Espacios topológicos T₀, T₁ y T₂ o de Hausdor . . . . . . . . . . . . 143

    4.2. Espacios topológicos regulares y T₃ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    4.3. Espacios topológicos normales y T₄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

    4.4. Lema de Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    4.5. Teorema de extensión de Tietze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5. Algunas estructuras topológicas en álgebra  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

    5.1. Estructura minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

    5.2. Topología Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

    5.3. Topología de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Índice de figuras  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Índice de símbolos  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Índice alfabético  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220