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CONTENIDO
1. Preliminares 15
1.1. Notación y operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Inversa, independencia y ortogonalidad . . . . . . . . . . . 18
1.3. Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4. Normas vectoriales y matriciales . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.1. Normas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.2. Normas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5. Descomposición en valores singulares (DVS) . . . . . . . . 56
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2. Aritmética de precisión finita 75
2.1. Sistemas de numeración posicionales . . . . . . . . . . . . . 76
2.2. Representación de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3. El estándar IEEE [51] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.4. Errores de aproximación: absoluto y relativo . . . . . . . . . 94
2.5. Aritmética de punto flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.6. Condición de un problema y estabilidad de un algoritmo . . 110
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3. Sistemas de ecuaciones lineales 121
3.1. Sensibilidad de Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2. Sistemas triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.3. Eliminación gaussiana y factorización LU . . . . . . . . . . 140
3.4. Solución del sistema Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.5. Pivoteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.6. Sistemas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.6.1. Sistemas simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.6.2. Sistemas simétricos definidos positivos . . . . . . . . . . . 162
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4. Mínimos cuadrados lineales 177
4.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.2. Solución mediante las ecuaciones normales . . . . . . . . . 184
4.3. Factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.3.1. Proceso de Gram-Schmidt y la factorización QR. . 187
4.3.2. Reflexiones de Househölder y la factorización QR . 196
4.3.3. Transformaciones de Givens y la factorización QR . 206
4.4. Solución mediante la factorización QR . . . . . . . . . . . . 214
4.5. Solución mediante la descomposición en valores singulares . 216
4.6. Sensibilidad del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5. Valores y vectores propios 231
5.1. Propiedades matemáticas del problema . . . . . . . . . . . . 232
5.2. Sensibilidad de valores y vectores propios . . . . . . . . . . 245
5.2.1. Sensibilidad de los valores propios . . . . . . . . . . 246
5.2.2. Sensibilidad de los vectores propios . . . . . . . . . 253
5.3. Cálculo numérico de valores y vectores propios . . . . . . . 259
5.3.1. Método de las potencias o iteración directa . . . . . 259
5.3.2. Iteración inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.3.3. Iteración inversa con desplazamiento . . . . . . . . 266
5.3.4. Iteración inversa con cociente de Rayleigh . . . . . . 267
5.4. Método de dos etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Bibliografía 281
Índice alfabético 289
